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% english.tex: 考研笔记--数学

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\begin{document}

\title{\bf 考研笔记--数学}
\author{\it \cheedoong\thanks{\url{http://www.e-pals.net}}}
\date{\small 版本号：v0.97 \hskip 2\ccwd 修改日期：2011/08/22}
\maketitle


\begin{abstract}
\supear{} \kybj{} 是由 \supearinc{} 发起的一个开源项目，旨在记录考研学子的点点滴滴，并为广大考研准备考研的同学提供必要的帮助。
 文档采用 \LaTeX{} 系统 + \ctex{} 宏包编译，以开源软件开发的模式进行维护，并在最为宽松的\mitlic{}开源协议下发布。

欢迎老师同学参与此项目或提出建设性意见。

\kybj{} 文档由 \cheedoong{} 制作并负责维护。
\end{abstract}

\tableofcontents

\section{补充的必记结论}
\begin{itemize}
  \item 常用极限：$\lim\limits_{n \to +\infty}{\sqrt[n]{a}} (a>0) =1, \lim\limits_{n \to +\infty}{\sqrt[n]{n}} =1$

  \item $\lim\limits_{n \to +\infty} {\sqrt[n]{x_1^n + x_2^n + \cdots + x_m^n}} = \max\limits_{1\leq k \leq m} \{x_k\}$ （其中$x_k>0, k=1,2,\cdots,m$）

  用夹逼定理可证
  \item 需要分情况讨论的极限（易错易忽略）例：
        
        $2^\infty= \left\{
                      \begin{array}{ll}
                        2^{+\infty}; \\
                        2^{-\infty}.
                      \end{array}
                    \right.$
        $\arctan\infty= \left\{
                      \begin{array}{ll}
                        \arctan{+\infty}; \\
                        \arctan{-\infty}.
                      \end{array}
                    \right.$            
        $\lim\limits_{x \to 1}2^\frac{1}{x-1}= \left\{
                      \begin{array}{ll}
                        x \to +1; \\
                        x \to -1.
                      \end{array}
                    \right.$
        
  \item $f(x)$在$[a,b]$上连续，$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$，则$\exists \xi\in(a,b)$，使得$$f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_n)}{n}$$      
      可用介值定理的推论证明
  \item $[f(\varphi(x)]' = f'(\varphi(x)) \varphi'(x)$，外面的$'$始终是针对$x$的
  \item $(\ln{\mid x\mid})=\frac{1}{x}$，不带绝对值
  \item $f(x)= \left\{
                      \begin{array}{ll}
                        {\mid x\mid}^\alpha \sin{\frac{1}{x}}, & x\neq 0; \\
                        0, & x=0.
                      \end{array}
                    \right.
   $当$x>0$时连续，$x>1$时可导，$x>2$时导函数连续
   
   这个函数差点导致一次数学危机，参见《微积分-从牛顿到勒贝格尔》
  \item 对麦克劳林展开式$f(x)=f(0)+f'(0)+\frac{f''(x)}{2!}x^2+\cdots$的理解：
  
        当$f(0)=0$时，$f(x)$是$x$的无穷小；\\
        当$f(0)=0, f'(0)\neq 0$时，$f(x)$是$x$的一阶无穷小；\\
        当$f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)\neq 0$时，$f(x)$是$x$的二阶无穷小；$\cdots$\\
        当$f(0)=0, f'(0)=0$时，$f(x)$是比$x$高阶的无穷小；\\
        当$f(0)=0, f'(0)=0, f''(x)=0$时，$f(x)$是比$x^2$高阶的无穷小；$\cdots$
  \item 变上限积分的几种变化：
   $$\int_a^x {xf(t)dt} = x \int_a^x {f(t)dt}$$
   $$\int_a^x{(x-t)f(t)dt} = x \int_a^x {f(t)dt} - \int_a^x {tf(t)dt}$$
   $$\int_a^x f(x-t)dt = \int_{x-a}^0 f(u)(-du) = \int_0^{x-a} f(u)du$$
   $$\int_{-c}^c {\mid x-t\mid}\varphi(t)dt = \int_{-c}^x (x-t)\varphi(t)dt + \int_x^c(t-x)\varphi(t)dt$$
  \item 变上限积分的导数：
   $$\frac{d}{dx}(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)dt) = f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\psi(x)]\psi'(x)$$


\end{itemize}

\vskip 10pt
\emph{其他在研究生考试中常用的结论欢迎大家一起整理。}




\section{版本更新}

\begin{description}

\item[v0.1 2011/08/19]
正式启动 \kybj{} 开源项目

\item[v0.0 2011/08/01]
萌发整理 \kybj{} 的设想

\end{description}


\section{开发人员}

\begin{itemize}

\item 庄奇东 (\email{cheedoong@acm.org})

\end{itemize}

\end{document}

